Question

已知数列{a_n}的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn=(

an+1

2

)2，设b_n=10-a_n（n∈N）
（1）求证：数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最大值．
（3）求数列{|b_n|}（n∈N）的前n项和．

Answer 1

分析：（1）将已知的关于和与项的关系变形，然后仿写一个新的等式，将两个式子相减得到项的关系，利用等差数列的定义得到证明．
（2）求出数列{b_n}的通项，令通项小于等于0求出n的范围，即从第几项为负，得到T_n的最大值．
（3）由（2），通过对n的讨论，利用绝对值的意义，将绝对值符号去掉，将数列{|b_n|}（n∈N）的前n项和问题转化为数列{b_n}的前n项和，再利用等差数列的前n项和公式求出．

解答：解：（1）证明：∵Sn=(

an+1

2

)2
即4S_n=a_n²+2a_n+1
4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1+1
两个式子相减得
a_n-a_n-1=2
数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴a_n=2n-1
（2）∴b_n=10-a_n=-2n+11
令b_n≤0
得n≥

11

2

∴数列{b_n}中前5项都是正项，从第六项开始为负项
∴T_n的最大值（（T_n）_max=T₅=25
（3）当n≤5时，|b₁|+|b₂|+..+|b_n|=b₁+b₂+..+b_n=10n-n²
当n＞5时，|b₁|+|b₂|+..+|b_n|=b₁+b₂+…+b₅-（b₆+b₇+…+b_n）
=10×5-5²-（10n-n²-10×5+5²）=n²-10n+50
∴Vn=

10n-n2(n≤5) n2-10n+50(n＞5)

点评：求数列的前n项和问题，一般先求出数列的通项，然后根据通项的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．