Question

已知f（x）=x²+3x+1，g（x）=+x．
（I）a=2时，求y=f（x）和y=g（x）的公共点个数；
（II）a为何值时，y=f（x）和y=g（x）的公共点个数恰为两个．

Answer 1

解：（I）a=2时，令f（x）=g（x）可得 x²+3x+1=，整理可得 x³+x²-x-2=0 （x≠1）．
令y=x³+x²-x-2=0 （x≠1），它的导数为y′=3x²+2x-1，令y′=0，可得 x₁=-1，．
故函数y的极值点在-1和处，且两个极值都是负数，故函数y与x轴的交点只有一个，故y=f（x）和y=g（x）的公共点只有一个．
（II）联立y=f（x）和y=g（x）得 x²+3x+1=+x，整理可得 a=x³+x²-x，且 x≠1．
令函数h（x）=x³+x²-x，可得函数h（x） 的极值点在-1和处，画出h（x）的草图，
当x=-1时，h（x）=1； 当x= 时，h（x）=．
故当a=1时，y=a和y=h（x）仅有一个交点，因为（1，1）不在h（x）上，不满足条件．
故当a=时，结合图象可得y=a和y=h（x）恰有2个交点．
综上，只有当a=时，才能满足y=a和y=h（x）恰有2个交点．
分析：（I）a=2时，令f（x）=g（x）可得x³+x²-x-2=0（x≠1），令y=x³+x²-x-2=0 （x≠1），根据它的导数判断函数y的极值点在-1和处，且两个极值都是负数，故y=f（x）和y=g（x）的公共点只有一个．
（II）联立y=f（x）和y=g（x）得 a=x³+x²-x，且 x≠1，画出函数h（x）=x³+x²-x 的草图，求出h（x） 的极值，可得当a=时，y=a和y=h（x）恰有2个交点．
点评：本题主要考查方程根的存在性以及个数的判断方法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．