Question

下列不等式恒成立的是（　　）
①e^x≥1+x
②sinx＜x，x∈[0，π）
③nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n∈N^*
④ln(1+x)＞x-

x2

2

，x＞0．

A．②③

B．①④

C．②④

D．①③

Answer 1

分析：①首先构造函数f（x）=e^x-x-1，然后求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系进行证明．对于②③可举出反例说明它们不是恒成立的；对于④设f（x）=ln(1+x)-x+

x2

2

，x＞0，利用 民数研究其单调性，从而得出结论．

解答：解：①设f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，
∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
当x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴对x∈R都有f（x）≥0，
∴e^x≥x+1．故①恒成立；
②当x=0时，sinx=x，故不成立；
③当n=3时，nⁿ⁺¹=3⁴=81，（n+1）ⁿ=4³=64，故nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n∈N^*，不成立．
④设f（x）=ln(1+x)-x+

x2

2

，x＞0，则f'（x）=

1

1+x

-1+x=

x2

1+x

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（0）=0，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，故ln(1+x)＞x-

x2

2

，x＞0．正确．
故选B．

点评：此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系．