Question

19．已知函数f（x）=2x-$\frac{x^2}{π}$+cosx，设x₁，x₂∈（0，π），x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），若x₁，x₀，x₂成等差数列，则（　　）

• A． f'（x₀）＞0
• B． f'（x₀）=0
• C． f'（x₀）＜0
• D． f'（x₀）的符号不能确定

Answer 1

分析 由题意和求导公式及法则求出f′（x）、f″（x），由余弦函数的单调性判断出f″（x）在（0，π）上递增，求出f″（0）和f″（π）的值，判断出f′（x）的单调性，求出f′（0）和f′（π）的值后，根据题意判断出f（x）的单调性，由等差中项的性质求出x₀，结合f（x）单调性和f′（x）的符号得到答案．

解答 解：由题意得，f′（x）=$2-\frac{2x}{π}-sinx$，
∴f″（x）=$-\frac{2}{π}-cosx$在∈（0，π）上递增，
又f″（0）=$-\frac{2}{π}-1＜0$，f″（π）=$-\frac{2}{π}+1＞0$，
∴f′（x）=$2-\frac{2x}{π}-sinx$在∈（0，π）上先减后增，
∵又f′（0）=2＞0，f′（π）=2-2=0，
且x₁，x₂∈（0，π），x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂），
∴函数f（x）在（0，π）上不单调，
∵x₁，x₀，x₂成等差数列，∴x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），
则f'（x₀）＜0，
故选C．

点评 本题考查等差中项的性质，求导公式及法则，以及导数与函数单调性的关系的应用，考查化简、变形能力，分析问题、解决问题的能力．