Question

3．已知不等式$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{a}{y}}）≥9$对于任意xy＞0恒成立，求正实数a的范围a≥4．

Answer 1

分析 首先分析题目已知不等式对任意x、y的正实数恒成立．故对不等式左边展开后，利用基本不等式得恒成立的满足条件（$\sqrt{a}$+1）²≥9，然后解不等式，可求a值

解答 解：因为（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥1+a+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{ax}{y}}$=1+a+2$\sqrt{a}$=（$\sqrt{a}$+1）²，a＞0，
要使原不等式恒成立，则只需（$\sqrt{a}$+1）²≥9，
即$\sqrt{a}$+1≥3，
解得a≥4，
故答案为：a≥4．

点评 此题主要考查基本不等式的应用，在利用基本不等式求参数的值或范围时，只需求出式子的最小值或最大值，使其满足已知条件即可．