Question

11．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（a＞0）在x=1处有极值10．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x）=3x²+2ax+b，由函数在x=1处有极值10，列出方程组，能求出a，b．
（2）由（1）得f′（x）=3x²+8x-11，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+a²（a＞0）在x=1处有极值10．
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a+b+{a}^{2}=10}\\{{f}^{'}（1）=3+2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=4或a=-3（舍），
∴a=4，b=-11．
（2）由（1）得f（x）=x³+4x²-11x+16，
f′（x）=3x²+8x-11，
由f′（x）＞0，得x＜-$\frac{11}{3}$或x＞1，∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-$\frac{11}{3}$]，[1，+∞）；
由f′（x）＜0，得-$\frac{11}{3}$＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间为[-$\frac{11}{3}$，1]．

点评 本题考查实数值的求法，考查函数的单调区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．