Question

1．已知命题P：直线2x-y=0与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）没有公共点，命题q：直线x+ny-2n=0与焦点在x轴上的椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{m^2}=1（{m＞0}）$恒有公共点，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q是真命题时的m的范围，通过讨论p真q假，p假q真的情况，从而得到m的范围．

解答 解：命题P真：直线2x-y=0与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）没有公共点，
如图，直线2x-y=0在两条渐近线y=±$\frac{m}{4}$之间或与渐近线重合，$\frac{m}{4}≤2$，∴0＜m≤8．

命题q真：直线x+ny-2n=0与焦点在x轴上的椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{m^2}=1（{m＞0}）$恒有公共点，
∵直线x+ny-2n=0过定点（0，2）
点（0，2）在椭圆内部或椭圆上即可2≤m＜4．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p真q假 或 q假p真．
p真q假时，0＜m≤8且m＜2或m≥4．⇒0＜m＜2或4≤m≤8，
q假p真时，2≤m＜4且m＜0或m＞8．⇒m∈∅．
综上m的取值范围：0＜m＜2或4≤m≤8．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查了分类讨论思想，是一道中档题．