Question

20．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，BC=10，AA₁=8，点E，F分别在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E=D₁F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（保留画图痕迹，不用说明画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分中较小部分的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在面ABCD中做HG平行于BC，连接EH，FG，则EFGH就是所求正方形．
（Ⅱ）由图形可以看出左半部分体积小，由此能求出平面α把该长方体分成的两部分中较小部分的体积．

解答 解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF，
如图，在面ABCD中做HG平行于BC，连接EH，FG且HB=GC=6，则EF平行且等于HG，
所以四边形EFGH是平行四边形，EF平行于A₁D₁，
所以EF垂直面A₁AB₁B，所以EF垂直于EH，且由题意得EH=FG=10，
所以EFGH是正方形．（6分）
（Ⅱ）由图形可以看出左半部分体积小…（2分），
所以平面α把该长方体分成的两部分中较小部分的体积：
$V=\frac{1}{2}（{4+10}）×8×10=560$…（6分）

点评 本题考查正方形的画法，考查几何体体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．