Question

15．对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“Kobe函数”．若函数f（x）=k+$\sqrt{x-1}$是“Kobe函数”，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． [1，+∞）
• C． $[{-1，-\frac{3}{4}}）$
• D． $（{\frac{3}{4}，1}]$

Answer 1

分析 根据新定义，当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，可知函数f（x）是增函数，其图象与y=x有两个不同的交点．即可求解．

解答 解：由题意，当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，可知函数f（x）是增函数，其图象与y=x有两个不同的交点，
可得：x=k+$\sqrt{x-1}$，必有两个不相等的实数根．
即：x-k=$\sqrt{x-1}$，
∵$\sqrt{x-1}≥0$，即x≥1，
∴1-k≥0，可得k≤1．
那么：（x-k）²=x-1有两个不相等的实数根．
其判别式△＞0，即（2k+1）²-4k²-4＞0，
解得：k$＞\frac{3}{4}$，
∴实数k的取值范围是（$\frac{3}{4}$，1]．
故选D．

点评 本题考查了对定义的理解和转化思想，图象与y=x有两个不同的交点，即（x-k）²=x-1有两个不相等的实数根是关键．属于中档题．