Question

10．已知圆O的半径为2，PA、PB为圆O的两条切线，A、B为切点（A与B不重合），则$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$的最小值为（　　）

• A． -12+4$\sqrt{2}$
• B． -16+4$\sqrt{2}$
• C． -12+8$\sqrt{2}$
• D． -16+8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$；利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．

解答 解：设PA与PO的夹角为α，则|PA|=|PB|=$\frac{2}{tanα}$，
y=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$||$\overrightarrow{PB}$|cos2α
=$\frac{4}{ta{n}^{2}α}$•cos2α=$\frac{4co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$•cos2α
=4$•\frac{1+cos2α}{1-cos2α}•cos2α$
记cos2α=μ．则y=4$•\frac{μ（μ+1）}{1-μ}$=4[（-μ-2）+$\frac{2}{1-μ}$]=-12+4（1-μ）+$\frac{8}{1-μ}$
≥-12+8$\sqrt{2}$．当且仅当μ=1-$\sqrt{2}$时，y取得最小值：8$\sqrt{2}-12$．
即$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为8$\sqrt{2}$-12．
故选：C．

点评 本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值．