Question

15．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示．

（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）若点D为棱AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）由直三棱柱的三视图求出S_△ABC，高BB₁，由此能求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．
（2）连结B₁C，BC₁，交于点O，连结OD，则OD∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．

解答 解：（1）由直三棱柱的三视图得：
${S}_{ABC}=\frac{1}{2}×3×2=3$，高BB₁=4，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=S_△ABC×BB₁=3×4=12．
证明：（2）连结B₁C，BC₁，交于点O，连结OD，
∵点D为棱AB的中点，
∴OD∥AC₁，
∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁．
∴AC₁∥平面CDB₁．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．