Question

16．（1）设a、b均为正实数，求证：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+ab≥2\sqrt{2}$
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，a²+b²+c²=4求ab+bc+ac的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可证明；
（2）利用ab+ac+bc≤a²+b²+c²即可得出．

解答 （1）证明：∵a、b均为正实数，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2}{ab}$，
∵$\frac{2}{ab}$+ab$≥2\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+ab≥2\sqrt{2}$（当且仅当a=b时取等号）
（2）∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴ab+ac+bc≤a²+b²+c²=4，当且仅当a=b=c时取等号．
∴ab+bc+ca的最大值是4．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查不等式的证明，属于中档题．