Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，数列{b_n}满足b₁=1，且b_n=2b_n-1+1，n≥2．
（1）求a_n，b_n的表达式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由题设知an=

S1=1                 (n=1) Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)

，b_n+1=2（b_n-1+1），由此可知b_n=2ⁿ-1．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1），令d_n=（2n-1）•2ⁿ，记R_n=d₁+d₂+…+d_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）．2ⁿ，再由错位相减求和法求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）an=

S1=1                 (n=1) Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)

（2分）
当n=1时，2n-1=1，所以a_n=2n-1（n≥1）（3分）
∵b_n=2b_n-1+1∴b_n+1=2（b_n-1+1）n≥2（4分）
∴b_n+1成等比数列，且首项b₁+1=2，公比q=2（5分）
∴b_n+1=2•2^n-1，∴b_n=2ⁿ-1（6分）

（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1）（7分）
令d_n=（2n-1）•2ⁿ，
记R_n=d₁+d₂+…+d_n
=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）．2ⁿ
则2R_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
相减，故R_n=-2-2•2²-2•2³-…-2•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6（10分）
故T_n=R_n-[1+3+5+…+（2n-1）]=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6-n²（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是错位相减求和法的合理运用．