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    已知，证明：不等式对任何正整数都成立.

    证明见解析


    解析:

    证明：要证，只要证 .

    因为 ，，

    故只要证 ，

    即只要证 .

    因为，

    所以命题得证.

    本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.

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    已知f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=2，当x＞0时，f（x）＜0
    （1）证明f（x）为奇函数；
    （2）证明f（x）为R上的减函数；
    （3）解不等式f（x-1）-f（1-2x-x2）＜4．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列的前项和为，已知，且

    ，

    其中为常数.

    (Ⅰ)求与的值；

    (Ⅱ)证明：数列为等差数列；

    (Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.

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    科目：高中数学 来源：2014届浙江省高三上学期入学摸底理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数

    （Ⅰ）若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围；

    （Ⅱ）证明：对，不等式成立.

     

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    科目：高中数学 来源：2014届四川省高一下学期期中理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知正项数列的前n项和满足：，

    （1）求数列的通项和前n项和；

    （2）求数列的前n项和；

    （3）证明：不等式  对任意的，都成立．

    【解析】第一问中，由于所以

    两式作差，然后得到

    从而得到结论

    第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

    第三问中，

    又

           

    结合放缩法得到。

    解：（1）∵     ∴

          ∴

          ∴   ∴  ………2分

          又∵正项数列，∴           ∴ 

    又n=1时，

    ∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

    ∴                             …………………4分

    ∴                   …………………5分 

    （2）       …………………6分

        ∴

                              …………………9分

    （3）

          …………………12分

    又

            ，

       ∴不等式  对任意的，都成立．

     

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