Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）（理）求二面角A₁-DE-B的大小．
（文）异面直线A₁C与AB所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz．用坐标表示向量，从而可证

A1C

•

DB

=0，

A1C

•

DE

=0，故有A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）先求平面的法向量，利用向量n=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，则n⊥

DE

，n⊥

DA1

．再用向量的夹角公式求解即可
（文）

A1C

=(-2，2，-4)，

AB

=(0，2，0)再用向量的夹角公式求解即可求异面直线A₁C与AB所成的角．

解答：解：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．

DE

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

A1C

=(-2，2，-4)，

DA1

=(2，0，4)．
（Ⅰ）因为

A1C

•

DB

=0，

A1C

•

DE

=0，A₁C⊥BD，A₁C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）设向量n=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，则n⊥

DE

，n⊥

DA1

．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，则z=-2，x=4，n=（4，1，-2）．?n，

A1C

＞等于二面角A₁-DE-B的平面角，cos?

n

，

A1C

＞=

n • A1C

| n || A1C |

=

14

42

．
所以二面角A₁-DE-B的大小为arccos

14

42

．
（文）

A1C

=(-2，2，-4)，

AB

=(0，2，0)
∴cos＜

A1C

，

AB

＞ =

4

4 6

=

6

6

∴异面直线A₁C与AB所成的角为arccos

6

6

．

点评：本题以正四棱柱为载体，考查线面位置关系，考查线线角，面面角，关键是构建空间直角坐标系．