Question

若（1-x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且a₁：a₃=1：7，则a₅等于

-56

．

Answer 1

分析：由二项式定理，可得（1-x）ⁿ展开式的通项，进而可得a₁=（-1）C_n¹，a₃=（-1）³C_n³，依题意a₁：a₃=1：7，代入并化简可得（n-1）（n-2）=42，解可得n的值，则a₅=（-1）⁵C₈⁵，计算可得答案．

解答：解：（1-x）ⁿ展开式的通项为T_r+1=（-1）^rC_n^rxⁿ，则a₁=（-1）C_n¹，a₃=（-1）³C_n³，a₅=（-1）⁵C_n⁵，
则a₁：a₃=（-1）C_n¹：（-1）³C_n³=C_n¹：C_n³=1：7，
化简可得（n-1）（n-2）=42，
解可得n=8或n=-5（舍）
则a₅=（-1）⁵C₈⁵=-56；
故答案为-56．

点评：本题考查二项式定理的应用，关键要从x的系数出发，发现a₁=（-1）C_n¹，a₃=（-1）³C_n³．