Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，则

1

m

+

1

n

的最小值为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  5

  3

• C、

  25

  6

• D、不存在

Answer 1

分析：把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．

解答：解：∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴q^m+n-2=16，
∴m+n=6
∴

1

m

+

1

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

1

n

）=

1

6

(2+

n

m

+

m

n

)≥

1

6

(2+2)=

2

3

故选A

点评：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．