Question

已知椭圆C₁的方程为

x2

4

+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别是C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线的标准方程，根据根据椭圆方程求得双曲线的左右顶点和焦点，进而求得双曲线方程中的a和b，则双曲线方程可得．
（2）将直线代入双曲线方程消去y，进而根据判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而根据

OA

•

OB

＞2求得关于k的不等式，求得k的范围，最后综合求得答案．

解答：解：（1）设双曲线C₂的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
则a²=4-1=3，c²=4，
由a²+b²=c²，得b²=1，
故C₂的方程为

x2

3

-y²=1．
（2）将y=kx+

2

代入

x2

3

-y²=1，得
（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由直线l与双曲线C₂交于不同的两点，得

1-3k2≠0 (-6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0

∴k²≠

1

3

且k²＜1．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x₁x₂=

-9

1-3k2

．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+

2

）（kx₂+

2

）
=（k²+1）x₁x₂+

2

k（x₁+x₂）+2=

3k2+7

3k2-1

．
又∵

OA

•

OB

＞2，得x₁x₂+y₁y₂＞2，
∴

3k2+7

3k2-1

＞2，
即

-3k2+9

3k2-1

＞0，解得

1

3

＜k²＜3，②
由①②得

1

3

＜k²＜1，
故k的取值范围为（-1，-

3

3

）∪（

3

3

，1）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，是高考的热点．