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    已知椭圆C1的方程为
    x2
    4
    +y2=1    ，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
    （1）求双曲线C2的方程；
    （2）若直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
    OA
    •
    OB
    ＞2    （其中O为原点），求k的范围．
    （3）试根据轨迹C2和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．
    分析：（1）设双曲线C2的方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    ，则a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1，由此能求出故C2的方程．
    （2）将y=kx+
    		2
    代入
    x2
    3
    -y2=1    得(1-3k2)x2-6
    		2
    kx-9=0    ．由直线l与双曲线C2交于不同的两点得：
    1-3k2≠0
    △=(6
    		2
    k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0
    ，由此能求出k的取值范围．
    （3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
    当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），线段AB的中垂线方程为y-
    		2
    1-3k2
    =-
    1
    k
    (x-
    3
    		2
    k
    1-3k2
    )    ，令y=0，得m=
    4
    		2
    k
    1-3k2
    =
    4
    		2
    1
    k
    -3k
    ，由此能求出m的范围．
    解答：解：（1）设双曲线C2的方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    ，
    则a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1，故C2的方程为
    x2
    3
    -y2=1
    （2）将y=kx+
    		2
    代入
    x2
    3
    -y2=1    得(1-3k2)x2-6
    		2
    kx-9=0
    由直线l与双曲线C2交于不同的两点得：
    1-3k2≠0
    △=(6
    		2
    k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0
    ∴k2≠
    1
    3
    且k2＜1…①A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
    6
    		2
    k
    1-3k2
    ，x1x2=
    -9
    1-3k2
    ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
    		2
    )(kx2+
    		2
    )    =(k2+1)x1x2+
    		2
    k(x1+x2)+2=
    3k2+7
    3k2-1

    又∵
    OA
    •
    OB
    ＞2    ，得x1x2+y1y2＞2，∴
    3k2+7
    3k2-1
    ＞2
    即
    -3k2+9
    3k2-1
    ＞0    ，解得：
    1
    3
    ＜k2＜3，…    ②，故k的取值范围为(-1，-
    		3
    3
    )∪(
    		3
    3
    ，1)    ．
    （3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
    解：显然，当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；
    当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），
    由（2）知x0=
    x1+x2
    2
    =
    3
    		2
    k
    1-3k2
    ，y0=
    3
    		2
    k2
    1-3k2
    +
    		2
    =
    		2
    1-3k2

    于是，线段AB的中垂线方程为y-
    		2
    1-3k2
    =-
    1
    k
    (x-
    3
    		2
    k
    1-3k2
    )    ，令y=0，得m=
    4
    		2
    k
    1-3k2
    =
    4
    		2
    1
    k
    -3k
    ，由①知，k∈(-1，-
    		3
    3
    )∪(-
    		3
    3
    ，0)∪(0，
    		3
    3
    )∪(
    		3
    3
    ，1)
    ∴
    1
    k
    -3k∈R    ，∴m∈R，且m≠0．
    综上所述，m∈R．
    点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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    已知椭圆C1的方程为
    x2
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    +y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
    （Ⅰ）求双曲线C2的方程；
    （Ⅱ）若直线l：y=kx+
    		2
    与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足
    OA
    •
    OB
    ＜6（其中O为原点），求k的取值范围．

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    已知椭圆C1的方程为
    x2
    4
    +y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
    （1）求双曲线C2的方程；
    （2）若直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
    OA
    •
    OB
    ＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，离心率为
    		3
    2
    ，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C1上一点到F1和F2的距离之和为12，椭圆C2的方程为
    x2
    (a-2)2
    +
    y2
    b2-1
    =1    ，圆C3：x2+y2+2kx-4y-21=0（k∈R）的圆心为点Ak．
    （I）求椭圆C1的方程；
    （II）求△AkF1F2的面积；
    （III）若点P为椭圆C2上的动点，点M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，
    |OP|
    |OM|
    =e    （e为椭圆C2的离心率），求点M的轨迹．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1的方程为
    x24
    +y2=1    ，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
    （1）求双曲线C2的方程；
    （2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C1交于不同的两点A、B，且满足|OA|2+|OB|2＞|AB|2，（其中O为原点），求l斜率的取值范围．

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