Question

7．对于实数a，b，定义运算“?”：a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-ab，a≤b\\{b}^{2}-ab，a＞b\end{array}\right.$，设f（x）=（2x-1）?（x-1），且关于x的方程f（x）-m=0恰有三个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 根据题意确定函数的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2{x}^{2}-x，x≤0\\ x-{x}^{2}，x＞0\end{array}\right.$，画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时m的取值范围．

解答 解：由 2x-1≤x-1 可得 x≤0，由 2x-1＞x-1 可得 x＞0．
∴根据题意得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2{x-1）}^{2}-（2x-1）（x-1），x≤0\\（{x-1）}^{2}-（2x-1）（x-1），x＞0\end{array}\right.$．
即 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2{x}^{2}-x，x≤0\\ x-{x}^{2}，x＞0\end{array}\right.$，
画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，

函数的图象和直线y=m有三个不同的交点．
再根据函数的极大值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
可得m的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题