Question

2．根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）．
（2）已知$f（\sqrt{x}+1）=x+2\sqrt{x}$，求f（x）
（3）若f（x）满足$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=ax$，求f（x）．

Answer 1

分析 求函数解析式（1）若已知函数f（x）的类型，常采用待定系数法；（2）若已知f[g（x）]表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
由于f（0）=0，得：f（x）=ax²+bx，
又由f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1
即　ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a+b=b+1\\ a≠0\\ a+b=1\end{array}\right.∴a=b=\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x$；
（2）设$u=\sqrt{x}+1\begin{array}{l}{\;}&{（x≥0）$，
∴f（u）=（u-1）²+2（u-1）=u²-1，（u≥1），
∴f（x）=x²-1（x≥1）
（3）用$\frac{1}{x}$代x可得：$f（\frac{1}{x}）+2f（x）=a\frac{1}{x}$，与　$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=ax$
联列可消去$f（\frac{1}{x}）$得：f（x）=$\frac{2a}{3x}-\frac{ax}{3}$．

点评 抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了其他一些条件（如：定义域、经过的特殊的点、解析递推式、部分图象特征等），它是高中数学函数部分的难点，也是与大学的一个衔接点．因无具体解析式，理解研究起来往往很困难．但利用函数模型往往能帮我们理清题意，寻找解题思路，从而方便快捷的解决问题．