Question

设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定义域为R，最小正周期为π，且对任意实数x，恒有f(x)≤f(

π

12

)=4成立．
（1）求实数a和b的值；
（2）作出函数f（x）在区间（0，π）上的大致图象；
（3）若两相异实数x₁、x₂∈（0，π），且满足f（x₁）=f（x₂），求f（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=asinωx+bcosωx化为；f（x）=

a2+b2

sin（ωx+φ），由题意可得

a2+b2=16 a+ 3 b=8

，从而可求得a和b的值；
（2）由f（x）=4sin（2x+

π

3

）即可做出其大致图象；
（3）当0＜x₁＜x₂＜

π

6

时，x₁+x₂=

π

6

，当

π

6

＜x₁＜x₂＜π时，x₁+x₂=

7π

6

，从而可求得f（x₁+x₂）的值．

解答：解（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+φ）（ω＞0），
又f（x）≤f（

π

12

）=4恒成立，
∴

a2+b2

=4，即a²+b²=16．…①（1分）
∵f（x）的最小正周期为π，
∴ω=

2π

T

=2，（2分）
即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．
又f（x）_max=f（

π

12

）=4，
∴asin

π

6

+bcos

π

6

=4，
即a+

3

b=8．…②（3分）
由①、②解得a=2，b=2

3

．（4分）
（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2

3

cos2x=4sin（2x+

π

3

）．（5分）
∵0＜x＜π，
∴

π

3

＜2x+

π

3

＜

7π

3

，列表如下：（6分）

∴函数f（x）的图象如图所示：（8分）

（3）∵f（x₁）=f（x₂），由（2）知，
当0＜x₁＜x₂＜

π

6

时，x₁+x₂=2×

π

12

=

π

6

，（9分）
∴f（x₁+x₂）=f（

π

6

）=4sin

2π

3

=2

3

；…（10分）
当

π

6

＜x₁＜x₂＜π时，x₁+x₂=2×

7π

12

=

7π

6

，（11分）
∴f（x₁+x₂）=f（

7π

6

）=4sin

8π

3

=2

3

；…（12分）．
综上，f（x₁+x₂）=2

3

．（13分）

点评：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考察两角和与差的正弦，突出五点作图法的考察与应用，综合性强，难度大．