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设函数f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).数列{an}满足f(an+1)=(n∈N*
(Ⅰ)求f(0)的值,判断并证明函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)如果存在t、s∈N*,s≠t,使得点(t,as)、(s,at)都在直线y=kx-1上,试判断是否存在自然数M,当n>M时,a n>f(0)恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).当x<0时,令x=-1,y=0以及f(-1)>1,推出f(0)=1,利用单调性的定义任取x1<x2   推出 f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1),得到f(x)在R上减函数.
(Ⅱ)通过函数的单调性,得到an+1=an+2,点(t,as)、(s,at)都在直线y=kx-1上,推出as-at=-2(t-s),
确定an=-2(t+s)-1+2n,通过当n>M时,a n>f(0)恒成立,推出然后求出M的最小值.
解答:解:(Ⅰ)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).
当x<0时,f(x)>1
令x=-1,y=0则f(-1)=f(-1)f(0)
∵f(-1)>1∴f(0)=1…(3分)
若x>0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故f(x)=
任取x1<x2    f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1),
∵x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1,
∴f(x1)>f(x2).
故f(x)在R上减函数…(6分)
(Ⅱ)f(an+1)==f(2+an)(n∈N*
  由f(x)单调性得:an+1=an+2
故{an}是等差数列,an=a1+2(n-1)…(8分)
∵存在t,s∈N*,使得(t,as)和(s,at)都在y=kx-1上,
∴as=kt-1,①at=ks-1,②
①-②得as-at=k(t-s).
又as=a1+2(s-1),at=a1+2(t-1),故as-at=-2(t-s),
∵s≠t,∴k=-2
①+②,得as+at=-2(t+s)-2,
又as+at=a1+2(s-1)+a1+2(t-1)
=2a1+2(s+t)-4,
∴2a1+2(s+t)-4=-2(t+s)-2
∴a1=-2(t+s)+1<0,∴an=-2(t+s)-1+2n…(10分)
即数列{an}是首项为负奇数,公差为2,故数列{an}是递增等差数列,各项全为奇数,
又f(0)=1
∴一定存在一个自然数M,使

解得t+s<M≤t+s+1.…(12分)
∵M∈N,
∴M=t+s+1,
∴存在自然数M=t+s+1,使得当n>M时,an>f(0)恒成立.…(14分)
点评:本题考查数列与函数的关系,数列的判断,函数的单调性的应用,考查转化思想,分析问题解决问题的能力,难度较大.
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a>b
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1
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]
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=
1
1

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