Question

17．已知共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂，若椭圆的短轴长为双曲线虚轴长的2倍，则$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的最大值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 设椭圆的短半轴是b₁，双曲线的虚半轴是b₂，半焦距都是c，由此求出椭圆与双曲线的离心率e₁、e₂；再求$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的表达式，利用函数的导数求出它的最大值即可．

解答 解：设椭圆的短半轴是b₁，双曲线的虚半轴是b₂，它们的半焦距都是c；
则b₁=2b₂，
∴椭圆的长半轴是a₁=$\sqrt{{{b}_{1}}^{2}{+c}^{2}}$=$\sqrt{{{4b}_{2}}^{2}{+c}^{2}}$，
双曲线的实半轴是a₂=$\sqrt{{c}^{2}{{-b}_{2}}^{2}}$；
∴椭圆的离心率为e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，
双曲线的离心率为e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$；
∴$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}}{c}$+$\frac{{a}_{2}}{c}$
=$\frac{\sqrt{{{4b}_{2}}^{2}{+c}^{2}}}{c}$+$\frac{\sqrt{{c}^{2}{{-b}_{2}}^{2}}}{c}$
=$\sqrt{{4（\frac{{b}_{2}}{c}）}^{2}+1}$+$\sqrt{{1-（\frac{{b}_{2}}{c}）}^{2}}$；
∵0＜b₂＜c，
∴0＜$\frac{{b}_{2}}{c}$＜1，
设$\frac{{b}_{2}}{c}$=x，x∈（0，1），
则函数y=$\sqrt{{4x}^{2}+1}$+$\sqrt{1{-x}^{2}}$，x∈（0，1）；
求导数y′=$\frac{1}{2}$•$\frac{8x}{\sqrt{{4x}^{2}+1}}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{-2x}{\sqrt{1{-x}^{2}}}$，
令y′=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，函数y取得最大值为y_max=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
即$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的最大值为$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了双曲线几何性质的应用问题，也考查了构造函数方法以及利用函数的导数求最值的问题，是综合性题目．