Question

如图，建立空间直角坐标系D－xyz．正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在面对角线A₁B上，点Q在面对角线B₁C上．

(1)当点P是对角线A₁B的中点，点Q在对角线B₁C上运动时，探究|PQ|的最小值；

(2)当点Q是对角线B₁C的中点，点P在对角线A₁B上运动时，探究|PQ|的最小值；

(3)当点P在对角线A₁B上运动，点Q在对角线B₁C上运动时，探究|PQ|的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：如题图，由题意知：点A1(1，0，1)、点B1(1，1，1)、点B(1，1，0)、点C(0，1，0)． 　　(1)当点P是对角线A1B的中点，则由投影概念知点P(1，，)． 　　点Q在对角线B1C上运动，设点Q(a，1，a)，a∈[0，1]． 　　由空间两点间的距离公式 　　得|PQ|＝． 　　当a＝时，|PQ|取得最小值为，此时点Q(，1，)． 　　(2)当点Q是对角线B1C的中点，则由投影概念知点Q(，1，)，点P在对角线A1B上运动，设点P(1，a，1－a)，a∈[0，1]．由空间两点间距离公式， 　　得|PQ|＝ 　　当a＝时，|PQ|取得最小值为，此时点P(1，，)． 　　(3)当点P在对角线A1B上运动，点Q在对角线B1C上运动时，设点P(1，a，1－a)、点Q(b，1，b)，a、b∈[0，1]．由空间两点间距离公式得 　　|PQ|＝ 　　 　　当b＝时，代入a－＋1＝0得a＝，即当a＝b＝时，|PQ|取得最小值为． 　　此时点P(1，，)、Q(，1，)． 　　深化升华：本题通过消元利用二次函数配方法求最值．

提示：

考查空间两点间距离公式的应用及函数思想在解析几何中的应用．