【题目】如图所示，在三棱锥
中，
，
，
，
，
.
(Ⅰ)求证：平面
平面
；
(Ⅱ)
为棱
上一点，试确定点的位置，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) 
为棱
的中点
【解析】
（Ⅰ）由余弦定理得AC＝
，由勾股定理得PA⊥AC，由PA⊥BC，得PA⊥平面ABC，由此能证明平面ABC⊥平面PAC．
（Ⅱ）设BC的中点为D，连结AD，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出E为棱AC的中点．
(Ⅰ)在
中，由余弦定理得
，即
，
又
，
，
，
，
又
，
，
平面
，
平面，
平面
，
平面
平面.
(Ⅱ)设
的中点为
，连接
，
，
，又
，
.
如图所示，以
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
，
，
，
设
(
)，则
设平面
的法向量为
，则
，令
，可得
，
，设直线
与平面所成角为
，
则
，
整理得
，
，
，
为棱的中点.
金钥匙试卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校进入高中数学竞赛复赛的学生中，高一年级有8人，高二年级有16人，高三年级有32人，现釆用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行釆访.
（1）求应从各年级分别抽取的人数；
（2）若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解（注高一学生记为
，高二学生记为
，高三学生记为
，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2人均为高三年级学生的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的两个都是白球的概率是多少？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，渐近线方程为
．求双曲线的标准方程；
（2）过（1）中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于
两点，且P是线段AB的中点，求证：
为常数；
（3）我们知道函数
的图象是由双曲线
的图象逆时针旋转45°得到的，函数
的图象也是双曲线，请尝试写出曲线的性质（不必证明）．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是
（
为参数），把曲线C的横坐标缩短为原来的
，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线
直线l的普通方程是
，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）记射线
（
）与交于点A，与l交于点B，求
的值.
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