【题目】(1)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为4,渐近线方程为.求双曲线的标准方程;
(2)过(1)中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于两点,且P是线段AB的中点,求证:
为常数;
(3)我们知道函数的图象是由双曲线
的图象逆时针旋转45°得到的,函数
的图象也是双曲线,请尝试写出曲线
的性质(不必证明).
【答案】(1)(2)证明见解析(3)详见解析
【解析】
(1)根据双曲线的性质求得双曲线的方程;
(2)方法一:设A,B点坐标,求得P点坐标,代入双曲线方程,即可求得;
方法二:分类讨论,设直线AB的方程,分别求得A和B点坐标,求得P点坐标,代入双曲线方程,即可求得;
(3)根据曲线方程,分别求得曲线的性质.
(1)设双曲线的方程为,由
,
由双曲线的渐近线方程为,则
,则
,
∴双曲线的方程为:;
(2)法一:由题不妨设,则
,
则P在双曲线上,代入双曲线方程得
法二:当直线AB的斜率不存在时,显然,则
;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为
则,则
,
同理,则
,
此时,,代入双曲线方程得
,则
(3)①对称中心:原点,对称轴方程:,
②顶点坐标为,焦点坐标:
,
,
实轴长:,虚轴长:2b=2,焦距:2c=4;
③范围:x≠0,,
④渐近线:.
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【题目】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,CC1的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.年接待游客量逐年增加
B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月
C.2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
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【题目】如图①在直角梯形ABCP中,,
,
,
,E,F,G分别是线段PC,PD,BC的中点,现将
折起,使平面
平面ABCD如图②.
(1)求证:平面EFG;
(2)求二面角G—EF—D的大小.
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【题目】已知点、
为双曲线
的左、右焦点,过
作垂直于
轴的直线,在
轴上方交双曲线
于点
,且
,圆
的方程是
.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为
、
,求
的值;
(3)过圆上任意一点
作圆
的切线
交双曲线
于
、
两点,
中点为
,求证:
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【题目】如图所示,某地出土的一种“钉”是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上,并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O,钉尖为.
⑴设,当
,
,
在同一水平面内时,求
与平面
所成角的大小
结果用反三角函数值表示
.
⑵若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为,要用某种线型材料复制100枚这种“钉”
损耗忽略不计
,共需要该种材料多少米?
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【题目】对于无穷数列,若对任意
,满足
且
(
是与
无关的常数),则称数列
为
数列.
(1)若(
),判断数列
是否为
数列,说明理由;
(2)设,求证:数列
是
数列,并求常数
的取值范围;
(3)设数列(
,
),问数列
是否为
数列?说明理由.
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