【题目】已知点、
为双曲线
的左、右焦点,过
作垂直于
轴的直线,在
轴上方交双曲线
于点
,且
,圆
的方程是
.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为
、
,求
的值;
(3)过圆上任意一点
作圆
的切线
交双曲线
于
、
两点,
中点为
,求证:
【答案】(1);(2)
;(3)详见解析.
【解析】
(1),根据
可得
,利用双曲线的定义可得
从而得到双曲线的方程.
(2)设点,利用渐近线的斜率可以得到
夹角的余弦为
,利用点在双曲线上又可得
为定值
,故可得
的值.
(3)设,切线
的方程为:
,证明
等价于证明
,也就是证明
,联立切线方程和双曲线方程,消元后利用韦达定理可以证明
.
(1)设的坐标分别为
,
因为点在双曲线
上,所以
,即
,所以
,
在中,
,
,所以
,
由双曲线的定义可知: ,
故双曲线的方程为:
.
(2)由条件可知:两条渐近线分别为;
.
设双曲线上的点
,
设的倾斜角为
,则
,又
,所以
,
故,
所以的夹角为
,且
.
点到两条渐近线的距离分别为
,
.
因为在双曲线
上,所以
,
所以.
(3)由题意,即证: ,设
,
切线的方程为:
.
时,切线
的方程代入双曲线
中,化简得:
(,
所以,
.
又,
所以.
时,易知上述结论也成立.所以
.
综上, ,所以
.
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【题目】如图,三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.
(1)求证:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
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【题目】(1)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为4,渐近线方程为.求双曲线的标准方程;
(2)过(1)中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于两点,且P是线段AB的中点,求证:
为常数;
(3)我们知道函数的图象是由双曲线
的图象逆时针旋转45°得到的,函数
的图象也是双曲线,请尝试写出曲线
的性质(不必证明).
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【题目】采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号1,, ,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,抽到的50人中,编号落入区间的人做问卷A,编号落入区间
的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
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【题目】在股票市场上,投资者常根据股价每股的价格
走势图来操作,股民老张在研究某只股票时,发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点:每日股价
元
与时间
天
的关系在ABC段可近似地用函数
的图象从最高点A到最低点C的一段来描述
如图
,并且从C点到今天的D点在底部横盘整理,今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示,且DEF段与ABC段关于直线l:
对称,点B,D的坐标分别是
.
请你帮老张确定a,
,
的值,并写出ABC段的函数解析式;
如果老张预测准确,且今天买入该只股票,那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍?
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【题目】某小组有7个同学,其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动,3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.
(1)现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动,求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率;
(2)若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动,则活动结束后,该小组有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量,求随机变量
的分布列和数学期望
.
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【题目】下面几种推理是类比推理的( )
A. 两条直线平行,同旁内角互补,如果和
是两条平行直线的同旁内角,则
B. 由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质
C. 某校高二级有20个班,1班有51位团员,2班有53位团员,3班有52位团员,由此可以推测各班都超过50位团员.
D. 一切偶数都能被2整除,是偶数,所以
能被2整除.
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