Question

已知f（x）=cos²x+sinxcosx，g(x)=2sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)．
（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）若f(α)+g(α)=

5

6

，且α∈[

3π

8

，

5π

8

]求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而根据周期公式求得周期．利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．
（2）化简f（x）+g（x）的表达式，利用f(α)+g(α)=

5

6

，α∈[

3π

8

，

5π

8

]通过sin2α=sin（2α-

π

4

+

π

4

）
求出函数sin2α的值即可．

解答：解：（1）y=cos²x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ   k∈Z，即 kπ-

3π

8

≤x≤

π

8

+kπ   k∈Z，
所以函数的单调增区间为：[-

3

8

π+kπ，

π

8

+kπ] (k∈Z)．
（2）g(x)=2sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)=-sin（2x+

π

2

）=-cos2x，
因为f（x）+g（x）=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-cos2x=

1

2

+

1

2

sin2x-

1

2

cos2x=

1

2

+

2

2

sin（2x-

π

4

）
f(α)+g(α)=

5

6

，

1

2

+

2

2

sin（2α-

π

4

）=

5

6

sin（2α-

π

4

）=

2

3

  α∈[

3π

8

，

5π

8

]
2α∈[

3π

4

，

5π

4

]  2α-

π

4

∈[

π

2

，π]
cos（2α-

π

4

）=-

7

3

sin2α=sin（2α-

π

4

+

π

4

）
=sin（2α-

π

4

）cos

π

4

+cos（2α-

π

4

）sin

π

4

=

2

3

× 

2

2

+（-

7

3

）×

2

2

=

1

3

-

14

6

=

2- 14

6

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用，注意角的变换的技巧，角的范围的应用．