Question

17．设函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax．
（1）若F（x）=f（x）+g（x）在（0，+∞）上存在减区间，求常数a的取值范围；
（2）设a＜-1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数根x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简F（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax，求导F′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a=$\frac{{x}^{2}+ax+1}{x}$，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-a＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）不妨设1≤x₁＜x₂≤2，则lnx₁＜lnx₂，从而可得f（x）+g（x），f（x）-g（x）在区间[1，2]上是增函数，从而求导可得．

解答 解：（1）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax，
F′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a=$\frac{{x}^{2}+ax+1}{x}$，
∵F（x）=f（x）+g（x）在（0，+∞）上存在减区间，
∴x²+ax+1=0在（0，+∞）上有两个不同的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-a＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，
解得，a＜-2；
故常数a的取值范围为（-∞，-2）；
（2）不妨设1≤x₁＜x₂≤2，则lnx₁＜lnx₂，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
故|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
故可化为对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数根x₁，x₂，
都有f（x₂）-f（x₁）＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，
故f（x₂）-f（x₁）＞g（x₁）-g（x₂），且f（x₂）-f（x₁）＞g（x₂）-g（x₁）；
即f（x₂）+g（x₂）＞f（x₁）+g（x₁），且f（x₂）-g（x₂）＞f（x₁）-g（x₁），
故f（x）+g（x），f（x）-g（x）在区间[1，2]上是增函数，
∵f（x）+g（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f′（x）+g′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≥-2；
∵f（x）-g（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f′（x）-g′（x）=$\frac{1}{x}$-x-a≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≤0；
∴-2≤a＜-1．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题．