Question

已知曲线C_n：x²-2nx+y²=0（n=1，2，…）．从点P（-1，0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n＞0）的切线l_n，切点为P_n（x_n，y_n）．
（1）求数列{x_n}与{y_n}的通项公式；
（2）证明：x1•x3•x5•…•x2n-1＜

1-xn 1+xn

＜

2

sin

xn

yn

．

Answer 1

分析：（1）设直线l_n：y=k_n（x+1），联立x²-2nx+y²=0得（1+k_n²）x²+（2k_n²-2n）x+k_n²=0，则△=（2k_n²-2n）²-4（1+k_n²）k_n²=0，由此可知xn=

n

n+1

，yn=kn(xn+1)=

n 2n+1

n+1

（2）由题设条件知x1•x3•x5x2n-1＜

1-xn 1+xn

，令函数f(x)=x-

2

sinx，则f′(x)=1-

2

cosx=0，得cosx=

2

2

，再由函数f（x）在(0，

π

4

)上单调递减可知x1•x3•x5•…•x2n-1＜

1-xn 1+xn

＜

2

sin

xn

yn

．

解答：解：（1）设直线l_n：y=k_n（x+1），联立x²-2nx+y²=0
得（1+k_n²）x²+（2k_n²-2n）x+k_n²=0，
则△=（2k_n²-2n）²-4（1+k_n²）k_n²=0，
∴kn=

n

2n+1

（-

n

2n+1

舍去）

x

2 n

=

k 2 n

1+ k 2 n

=

n2

(n+1)2

，
即xn=

n

n+1

，∴yn=kn(xn+1)=

n 2n+1

n+1

（2）证明：∵

1-xn 1+xn

=

1- n n+1 1+ n n+1

=

1 2n+1

x1•x3•x5x2n-1=

1

2

×

3

4

××

2n-1

2n

＜

1 3 × 3 5 ×× 2n-1 2n+1

=

1 2n+1

∴x1•x3•x5x2n-1＜

1-xn 1+xn

由于

xn

yn

=

1 2n+1

=

1-xn 1+xn

，
可令函数f(x)=x-

2

sinx，则f′(x)=1-

2

cosx，
令f′（x）=0，得cosx=

2

2

，
给定区间(0，

π

4

)，则有f′（x）＜0，则函数f（x）在(0，

π

4

)上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0，即x＜

2

sinx在(0，

π

4

)恒成立，又0＜

1 2n+1

≤

1 3

＜

π

4

，
则有

1 2n+1

＜

2

sin

1 2n+1

，即

1-xn 1+xn

＜

2

sin

xn

yn

．

点评：本题考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．