Question

已知抛物线y=ax²-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：设而不求，可设出对称的两个点P，Q的坐标，利用两点关于直线x+y=0成轴对称，可以设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组

y=x+b y=ax2-1

有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数b，建立关于a的函数关系，求出变量a的范围．

解答：解：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为M（x₀，y₀），设
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组

y=x+b y=ax2-1

有两组不同的实数解，即得方程ax²-x-（1+b）=0．①
判别式△=1+4a（1+b）＞0．②
由①得x₀=

x1+x2

2

=

1

2a

，y₀=x₀+b=

1

2a

+b．
∵M∈l，∴0=x₀+y₀=

1

2a

+

1

2a

+b，
即b=-

1

a

，代入②解得a＞

3

4

．
故实数a的取值范围（

3

4

，+∞）

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于难题，有一定的计算量．