Question

已知tan

β

2

=

1

2

，sin(α+β)=

5

13

且a∈（0，π），β∈（0，2π）
（l）求sinβ的值；    
（2）求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）sinβ=2sin

β

2

cos

β

2

=

2sin β 2 cos β 2

sin2 β 2 +cos2 β 2

，再弦化切，即可得出结论；
（2）先求出cosβ，cos（α+β），再利用sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，即可得出结论．

解答：解：（1）sinβ=2sin

β

2

cos

β

2

=

2sin β 2 cos β 2

sin2 β 2 +cos2 β 2

=2•

tan β 2

1+tan2 β 2

=2•

1 2

1+ 1 4

=

4

5

；
（2）∵tanβ=

2tan β 2

1-tan2 β 2

=

4

3

，∴cosβ=

3

5

；
∵sin(α+β)=

5

13

，∴cos(α+β)=±

12

13

．
cos(α+β)=

12

13

时，sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=-

33

65

，
∵α∈（0，π），∴不合题意；
cos（α+β）=-

12

13

时，sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

33

65

．

点评：本题考查二倍角的正弦公式，考查角的变换，考查学生的计算能力，正确进行角的变换是关键．