Question

已知函数
（I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当函数f（x）在（0，+∞）上单调递增时，若x₁，x₂∈（0，2），且f（x₁）+f（x₂）=2f（a），试比较与a的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）
（1）当a＜0时，f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）递减；
（2）当a＞1时，f'（x）＜0解集为，f'（x）＞0解集为，
∴f（x）在递减，在上递增；
（3）当0＜a＜1时，f'（x）＜0解集为，f'（x）＞0解集为，
∴f（x）在递减，在上递增；
（4）当a=1时，f'（x）＞0解集为（0，1）∪（1，+∞），
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）上递增，且f（x）在x=1不间断，所以f（x）在（0，+∞）递增；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，，
要比较与1的大小，只需比较x₂与2-x₁的大小..…（6分）
因为
设．…（8分）
则
当x₁∈（0，1）时，F'（x₁）＜0，F（x₁）为减函数，
当x₁∈（1，2）时，F'（x₁）＞0，F（x₁）为增函数，
所以F（x₁）≥F（1）=0…（10分）
所以f（x₂）≥f（2-x₁），又因为f（x）为增函数，
所以x₂≥2-x₁，所以，即a…（12分）
分析：（I）求导数可得，分a＜0，a＞1，0＜a＜1，和a=1进行讨论，可得f（x）的单调性；
（Ⅱ）问题转化为只需比较x₂与2-x₁的大小，作差后构造函数，由单调性可得最值，进而可得答案．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及单调性的性质和转化的思想，属中档题．