Question

4．已知a、b、c为正数，若a²+b²+4c²=1，求ab+2ac+3$\sqrt{2}$bc的最大值．

Answer 1

分析 由a²+b²+4c²=1，可得（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$）a²+（$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$）b²+（1+3）c²=1，有1=（$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$b²）+（$\frac{1}{2}$a²+c²）+（$\frac{3}{4}$b²+3c²）$≥2\sqrt{\frac{1}{8}}$ab+2$\sqrt{\frac{1}{2}}$ac+2$\sqrt{\frac{9}{4}}$ac，即可得出结论．

解答 解：∵a²+b²+4c²=1，
∴（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$）a²+（$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$）b²+（1+3）c²=1，
∴1=（$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$b²）+（$\frac{1}{2}$a²+c²）+（$\frac{3}{4}$b²+3c²）$≥2\sqrt{\frac{1}{8}}$ab+2$\sqrt{\frac{1}{2}}$ac+2$\sqrt{\frac{9}{4}}$ac
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ab+2ac+3$\sqrt{2}$bc），
∴ab+2ac+3$\sqrt{2}$bc≤$\sqrt{2}$，
当且仅当a²=$\frac{1}{5}$，b²=$\frac{2}{5}$，c²=$\frac{1}{10}$，ab+2ac+3$\sqrt{2}$bc的最大值是$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确变形是关键．