Question

椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的右焦点为F，P₁、P₂、P₃是此椭圆上不同的三点，且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，则

1

|P1F|

+

1

|P2F|

+

1

|P3F|

=

15

16

．

Answer 1

分析：记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），假设 0≤α₁＜

2π

3

，且 α₂=α₁+

2π

3

，α₃=α₁+

4π

3

，又设点P_i在l上的射影为Q_i，因椭圆的离心率 e=

c

a

=，从而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=（

a2

c

-c-|FP_i|cosαi）e=（9-|FP_i|cosα_i）（i=1，2，3）．由此入手能够推导出结果．

解答：解：由题意知a=5，b=4，c=3，e=

3

5

．
记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假设 0≤α₁＜

2π

3

，且 α₂=α₁+

2π

3

，α₃=α₁+

4π

3

，
又设点P_i在l上的射影为Q_i，因椭圆的离心率 e=

3

5

，从而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=（

a2

c

-c-|FP_i|cosα_i）e=

3

5

（

16

3

-|FP_i|cosα_i）（i=1，2，3）
解得 

1

|FPi|

=

5

16

（1-

3

5

cosα_i）（i=1，2，3）
则

1

|P1F|

+

1

|P2F|

+

1

|P3F|

=

15

16

-

3

5

[cosα₁+cos（α₁+

2π

3

）+cos（α₁+

4π

3

）]，
而 cosα₁+cos（α₁+

2π

3

）+cos（α₁+

4π

3

）
=cosα₁-

1

2

cosα₁-

3

2

sinα₁-

1

2

cosα₁+

3

2

sinα₁=0，
故 

1

|P1F|

+

1

|P2F|

+

1

|P3F|

=

15

16

．
故答案为：

15

16

．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题中的隐含条件．