Question

（A类）定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2
（1）求f（0）、f（-1）的值；  （2）证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
（B类）已知定义在R上的奇函数f(x)= 

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；
（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x0是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

Answer 1

分析：A类
（1）令a=1，b=0，则有：f（1）=f（1）•f（0），结合已知得出f（0）=1．再令a=1，b=-1 可以得出f（-1）=

1

2

．
（2）任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）（f（x₂-x₁）-1）由已知，可以判断出差为正数．
 （3）考虑利用函数的单调性求解，注意x+1的取值范围，进行分类讨论．
B类         
（1）由f（0）=0，得b=1，f（-1）=-f（1），得a=2 由f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

 得出-

1

2

＜f（x）＜

1

2

  转化为

-m2+(k+2)m- 3 2 ≤- 1 2 m2+2km+k+ 5 2 ≥ 1 2

   对m∈R恒成立，进行解决．        
（3）利用函数单调性在（-1，1）内，g（x）=0有唯一的根x=0，再由g（-1）=g（-1+2）得-g（1）=g（1），g（1）=0，结合周期性求出所有的解．

解答：A类
解：（1）在f（a+b）=f（a）•f（b）中
令a=1，b=0，则有：f（1）=f（1）•f（0）
因为当x＞0时，有f（x）＞1，所以f（1）＞1，∴f（0）=1                  …（2分）
令a=1，b=-1，则f（0）=f（1）•f（-1），得出f（-1）=

f(0)

f(1)

=

1

2

                        …（4分）
（2）任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）（f（x₂-x₁）-1）．
由于0＜x₁＜x₂，所以f（x₁）＞1，f（x₂-x₁）-1＞0
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）．
y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
（3）∵f（1）=2
∴f（2）=f（1）•f（1）=4
由已知，当x＜0时，
f（0）=f（x）f（-x）=1，得出f（x）=

1

f(-x)

＜1．…（10分）
故①．当x+1＜0即x＜-1时，f（x+1）＜1＜4不等式恒成立．                  …（11分）
②．当x+1=0即x=-1时，f（x+1）=1＜4                  …（12分）
③．当x+1＞0即x＞-1时，由（2）知道须x+1＜2，解得-1＜x＜1                                    …（13分）
综上：不等式f（x+1）＜4的解集为{x|x＜1}．…（14分）
B类：
解：（1）由f（0）=0，得b=1，f（-1）=-f（1），得a=2    
（2）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

 得出-

1

2

＜f（x）＜

1

2

          …（5分）
即

-m2+(k+2)m- 3 2 ≤- 1 2 m2+2km+k+ 5 2 ≥ 1 2

   对m∈R恒成立，即

m2-(k+2)m+1≥ 0 m2+2km+k+2≥0

   对m∈R恒成立                  …（7分）
∴

△=(k+2)2-4≤0 △=(2k)2-4(k+2)≤0

                                 …（9分）
解得-1≤k≤0                                     …（10分）
（3）x∈（-1，1），而g（x）=f（x）-x=-

1

2

+

1

2x+1

-x在（-1，1）内单减．
且g（0）=0，故在（-1，1）内，g（x）=0有唯一的根x=0，又g（x）周期为2，对k∈Z，
 g（x+2k）=g（x），所以在（2k-1，2k+1）内有唯一根x=2k
由g（-1）=g（-1+2）得-g（1）=g（1），g（1）=0
应有g（2k+1）=0，即还有解x=2k+1，
综上：g（x）=0 的所有解为x=k（k∈Z）

点评：A类 本题考查抽象函数、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化、分类讨论的思想方法．牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路．
B类 考查了函数的奇偶性、单调性、周期性，不等式恒成立问题，以及方程思想，考查计算、转化能力．