Question

（A类）已知函数g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log

3

（x+a）的图象上．
（1）求实数a的值；                （2）解不等式f（x）＜log

3

a；
（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
（B类）设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）的值；     （2）求证：f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（A类）（1）利用指数函数的图象和性质即可得函数g（x）所过定点，代入函数f（x）的解析式即可求得a的值，（2）利用对数函数的定义和单调性解不等式即可，（3）将方程等价转化为|2^x-1|=2b，画出函数y=|2^x-1|的图象，数形结合即可得b的范围
（B类）（1）利用赋值法，令x=y=0，即可得f（0），（2）利用赋值法和奇函数定义，令y=-x，即可证明，（3）先计算出f（2）=2，再将不等式等价转化为f（2a）＞f（a+1），最后利用单调性解不等式即可

解答：A类：解：（1）∵函数g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A
∴A点的坐标为（2，2）
又因为A点在f（x）=log

3

（x+a）的图象上，
∴2=log

3

（2+a）
即a+2=3
∴a=1                          
（2）∵不等式f（x）＜log

3

a?log

3

（x+1）＜log

3

1=0
?0＜x+1＜1
?-1＜x＜0         
∴不等式f（x）＜log

3

a的解集为（-1，0）
（3）∵g（x）=2^x-2+1
∴g（x+2）=2^x+1
∴|g（x+2）-2|=2b?|2^x+1-2|=2b?|2^x-1|=2b
函数y=|2^x-1|的图象如图1，
要使|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根
由图象可知需0＜2b＜1，
故b的取值范围为（0，

1

2

）            
B类：解：（1）令x=y=0
则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
（2）令y=-x
则f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x）
所以f（x）为R上的奇函数                               
（3）令x=y=1
则f（1+1）=f（2）=f（1）+f（1）=2
∴f（2）=2
∴f（2a）＞f（a-1）+2?f（2a）＞f（a-1）+f（2）?f（2a）＞f（a+1）
又∵f（x）是R上的增函数，所以2a＞a+1
即a＞1
∴a的取值范围为（1，+∞）

点评：本题综合考查了指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，抽象表达式的意义，利用函数图象和单调性解不等式等