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(2012•东城区二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中x∈R,A>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知在函数f(x)的图象上的三点M,N,P的横坐标分别为-1,1,5,求sin∠MNP的值.
分析:(Ⅰ)利用最高点确定A的值,利用周期,确定ω的值,利用最高点的坐标,确定φ的值,即可求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)确定点M,N,P的坐标,再利用余弦定理,即可求sin∠MNP的值.
解答:解:(Ⅰ)由图可知,A=1,最小正周期T=4×2=8.
由T=
ω
=8,得ω=
π
4
.…(3分)
又f(1)=sin(
π
4
+φ)=1,且-
π
2
<φ<
π
2

所以
π
4
+φ=
π
2
,即φ=
π
4
.…(5分)
所以f(x)=sin(
π
4
x+
π
4
).…(6分)
(Ⅱ)因为f(-1)=0,f(1)=1,f(5)=-1
所以M(-1,0),N(1,1),P(5,-1).…(7分)
所以|MN|=
5
,|PN|=
20
,|MP|=
37

由余弦定理得cos∠MNP=
5+20-37
2
5
×
20
=-
3
5
.           …(11分)
因为∠MNP∈[0,π),所以sin∠MNP=
4
5
.…(13分)
点评:本题考查三角函数模型的建立,考查余弦定理的运用,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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(2012•东城区二模)定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足:An=
F(n,2)
F(2,n)
(n∈N+),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N*成立,则ak的值为(  )

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12
x2+2x-aex

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(2012•东城区二模)已知函数f(x)=x
1
2
,给出下列命题:
①若x>1,则f(x)>1;
②若0<x1<x2,则f(x2)-f(x1)>x2-x1
③若0<x1<x2,则x2f(x1)<x1f(x2);
④若0<x1<x2,则
f(x1)+f(x2)
2
<f(
x1+x2
2
)

其中,所有正确命题的序号是
①④
①④

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(2012•东城区二模)已知函数f(x)=(a+
1
a
)lnx+
1
x
-x(a>1).
(l)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性;
(2)当a∈[3,+∞)时,曲线y=f(x)上总存在相异两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f (x2 )),使得曲线y=f(x)在点P,Q处的切线互相平行,求证:x1+x2
6
5

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(2012•东城区二模)设M(x0,y0)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x0的取值范围是(  )

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