Question

如图,已知正四面体ABCD的棱长为a,E为AD的中点,连结CE.

(1)求证:顶点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;

(2)求AD与底面BCD所成的角;

(3)求CE与底面BCD所成的角.

Answer 1

(1)证明:如图,过A作AO⊥平面ABC,垂足为O.

连结OB、OC、OD,则OB、OC、OD分别是AB、AC、AD在平面BCD内的射影.

又∵AB=AC=AD,

∴OB=OC=OD.

∴顶点A在底面BCD内的射影O是△BCD的外心.

(2)解:∵AO⊥平面BCD,

连结OD,则OD为AD在平面BCD内的射影.

∴∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.

∵O为△BCD的重心,

∴DO= .

∴cos∠ADO=.

∴∠ADO=arccos.

∴AD与平面BCD所成的角为arccos.

(3)解:取OD的中点F,连结EF、CF.

∵E、F分别为△DAO的边AD、OD的中点,

∴EF为△DAO的中位线.

∴EF∥AO.又AO⊥平面BCD,∴EF⊥平面BCD.

∴FC为EC在平面BCD内的射影.

∴∠ECF为EC与平面BCD所成的角.

在Rt△EFC中,EF=AO,

而AO=,

∴EF=.

∵E为AD的中点,∴,

∴sin∠ECF=.

∴∠ECF=arcsin.

∴CE与平面BCD所成的角为arcsin.