Question

18．已知函数f（x）=x•|x|-2x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若方程f（x）=m有三个不同实根时，求实数m的取值范围；
（3）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）为奇函数，利用奇偶性的定义，可证得结论；
（2）画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}-2x，x＜0\\{x}^{2}-2x，x≥0\end{array}\right.$的图象，若方程f（x）=m有三个不同实根，则函数f（x）的图象，与y=m有三个交点，数形结合可得答案．
（3）求导，求出不同区间上导数的符号，进而可得函数的单调区间．

解答 解：（1）函数f（x）为奇函数，理由如下：
∵函数f（x）=x•|x|-2x
∴f（-x）=-x•|-x|+2x=-（x•|x|-2x）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数；
（2）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}-2x，x＜0\\{x}^{2}-2x，x≥0\end{array}\right.$的图象如下图所示：

若方程f（x）=m有三个不同实根，
则函数f（x）的图象，与y=m有三个交点，
由图可得：m∈（-1，1）
（3）∵f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x-2，x＜0\\ 2x-2，x≥0\end{array}\right.$，
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0；
∴函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，-1）和（1，+∞），
函数f（x）的单调递减区间为：（-1，1）．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，函数的零点个数判断，利用导数研究函数的单调性，难度中档．