Question

已知直线y＝ax＋1与双曲线3x²－y²＝1交于A、B两点

(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；

(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y＝x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)由消去y，得 　　(3－a2)x2－2ax－2＝0　　① 　　依题意 　　即＜a＜且a≠±　　② 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　则 　　∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB． 　　∴x1x2＋y1y2＝0． 　　但y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1， 　　由③④，x1＋x2＝，x1x2＝． 　　∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0． 　　解得a＝±1且满足②． 　　(2)假设存在实数a，使A、B关于y＝x对称，则直线y＝ax＋1与y＝x垂直， 　　∴a·＝－1，即a＝－2． 　　直线l的方程为y＝－2x＋1． 　　将a＝－2代入③得x1＋x2＝4． 　　∴AB中点横坐标为2， 　　纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3． 　　但AB中点(2，－3)不在直线y＝x上， 　　即不存在实数a，使A、B关于直线y＝x对称．