Question

已知2^x≤16且log2x≥

1

2

，求函数f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

的取值范围．

Answer 1

分析：由2^x≤16，可得x≤4，于是得到

1

2

≤log2x≤2．利用对数的运算法则可得；f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

=（log₂x-1）（log₂x-2）=(log2x)2-3log2x+2=(log2x-

3

2

)2-

1

4

．再利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：由2^x≤16，解得x≤4，∴log₂x≤2．
又由log₂x≥

1

2

，∴

1

2

≤log2x≤2．
由f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

=（log₂x-1）（log₂x-2）
=(log2x)2-3log2x+2
=(log2x-

3

2

)2-

1

4

．
∴当log2x=

3

2

，f(x)min=-

1

4

；
又当log2x=

1

2

，f（x）=

3

4

；当log₂x=2时，f（x）=0．
∴当log2x=

1

2

时，f(x)max=

3

4

．
故f（x）的取值范围为[-

1

4

，

3

4

]．

点评：本题考查了对数的运算法则及其单调性、二次函数的单调性，属于中档题．