Question

8．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）已知a＞0，若关于x的不等式f（x）＜|a-2|的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式等价于①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$，或②$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$，或③$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1+（2x-3）≤6}\end{array}\right.$．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a-1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x-3|≤6，
∴①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$，或②$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$，或③$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1+（2x-3）≤6}\end{array}\right.$．
解①得-1≤x＜-$\frac{1}{2}$，解②得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，解③得$\frac{3}{2}$＜x≤2．
即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}．
（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，即f（x）的最小值等于4，
∴|a-2|＞4，解此不等式得a＜-2或a＞6．
故实数a的取值范围为（-∞，-2）∪（6，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．