Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的对称中心坐标．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），再利用三角函数的周期公式求得该函数的最小正周期；
（2）依据正弦函数的对称性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
则令2x-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z）得x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
故对称中心为（$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，0）（k∈Z）．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式三角函数的周期公式、正弦函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．