Question

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

      已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合．

直线的参数方程为：（t为参数），曲线的极坐标方程为：．

（Ⅰ）写出的直角坐标方程，并指出是什么曲线；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，求值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）所以曲线的直角坐标方程为，它是以为圆心，半径为的圆.

（Ⅱ）

【解析】本试题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系，求解弦长的运用。

（1）根据已知的极坐标方程，转化为直角坐标关系式，得到普通方程

（2）利用直线的参数方程与圆的方程联立方程组，得到关于参数t的一元二次方程，然后借助于韦达定理，表示出弦长的求解。

解：（Ⅰ）

，

，   2分

由得：

所以曲线的直角坐标方程为，…………………………4分

它是以为圆心，半径为的圆. …………………………………………5分

（Ⅱ）把代入整理得，……7分

设其两根分别为、，则，…………………………8分

 

……………………………………10分

另解：

化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得的值．