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    已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x﹣1）+g（1﹣x）=x2﹣2x﹣1，且g（1）=﹣1．令．
    （1）求g（x）的表达式；
    （2）若x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
    （3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，
    证明：对x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）﹣H（x2）|＜1．
    解：（1）设g（x）=ax2+bx+c，
    于是g（x﹣1）+g（1﹣x）=2a（x﹣1）2+2c=2（x﹣1）2﹣2，
    所以
    又g（1）=﹣1，则．
    所以．
    （2）．
    当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；
    当m=0时，对x＞0，f（x）＞0恒成立；
    当m＜0时，由，
    列表：
    ．
    ．
    所以若x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣e，0]．
    故x＞0使f（x）≤0成立，实数m的取值范围（﹣∞，﹣e]∪（0，+∞）．
    （3）因为对x∈[1，m]，，
    所以H（x）在[1，m]内单调递减．
    于是．
    ．
    记，则，
    所以函数在（1，e]是单调增函数，
    所以，
    故命题成立．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．
    （1）求g（x）的表达式；
    （2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+
    1
    2
    ）+mlnx-（m+1）x+
    9
    8
    ，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
    （3）在（2）的条件下，证明：对任意x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．令f(x)=g(x+
    1
    2
    )+mlnx+
    9
    8
    (m∈R，x＞0)    ．
    （1）求g（x）的表达式；
    （2）若?x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
    （3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对?x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数
    （1）求函数g（x）的解析式；
    （2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由；
    （3）证明：对任意的正整数n，不等式ln(
    1
    n
    +1)＞
    1
    n2
    -
    1
    n3
    恒成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+
    12
    (m∈R)    ．
    （I）求g（x）的表达式；
    （Ⅱ）若?x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
    （Ⅲ）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对?x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=m[g（x+1）-1]-lnx，其中m为常数且m≠0．
    （1）求函数g（x）的解析式；
    （2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由．

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