Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=λ（λ＜3且λ≠-2），且a_n+2=a_n+1+6a_n．（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1+2a_n}与数列{a_n+1-3a_n}都是等比数列；
（2）若a_n+1＞a_n（n∈N^*）恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由等比数列的定义，将题设中的递推公式变形成（a_n+2+2a_n+1）：（a_n+1+2a_n）=常数的形式即得；同理可证得数列{a_n+1-3a_n}都是等比数列；
（2）利用（1）中的结论，先求出a_n+1-a_n的表达式，化简得

2λ+4

9-3λ

＞(-

2

3

)n-1，再利用指数函数的性质建立关于λ的不等关系，即可解得λ的取值范围．

解答：解析：（1）由a_n+2=a_n+1+6a_n得a_n+2+2a_n+1=3（a_n+1+2a_n）a_n+2-3a_n+1=-2（a_n+1-3a_n）…（4分）
由λ＜3是λ≠-2知a₂+2a₁≠0，a₂-3a₁≠0，故有

an+2+2an-1

an+1+2an

=3，

an+2-3an+1

an+1-3an

=-2
∴数列{a_n+1+2a_n}与数列{a_n+1-3a_n}都是等比数列．…（6分）
（2）由（1）知：a_n+1+2a_n=（λ+2）3^n-1①a_n+1-3a_n=（λ-3）（-2）^n-1②…（7分）
由①-②得5a_n=（λ+2）3^n-1+（3-λ）（-2）^n-15a_n+1=（λ+2）3ⁿ+（3-λ）（-2）ⁿ…（8分）
∴5（a_n+1-a_n）=（2λ+4）•3^n-1+（3λ-9）•（-2）^n-1＞0，又∵λ＜3，
化简得

2λ+4

9-3λ

＞(-

2

3

)n-1…（10分）
对于任意n∈N^*，总有(-

2

3

)n-1≤1…（11分）
∴

2λ+4

9-3λ

＞1，解之得1＜λ＜3…（12分）

点评：本题考查了等比数列的定义，以及数列与不等式的综合，综合运用了分离参数法，难度一般．