Question

如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2
，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形，
(Ⅰ)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小；
(Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积．

Answer 1

(Ⅰ)证明：在△ABC中，因为∠ABC=45°，BC=4，AB=2，
所以AC²=AB²+BC²-2AB·BC·cos45°=8，
因此AC=2，故BC²=AC²+AB²，
所以∠BAC=90°，
又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，
所以CD⊥PA，CD⊥AC，
又PA、AC平面PAC，且PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC，
又CD平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAC．
(Ⅱ)解：因为△PAB是等腰三角形，所以PA=AB=2，
因此，
又AB∥CD，
所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，
由于CD⊥平面PAC，
在Rt△PAC中，PA=2，AC=2，所以PC=4，
故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离，
所以B到平面PCD的距离为h=2，
设直线PB与平面PCD所成的角为θ，
则，
又，
所以。
(Ⅲ)解：因为AC∥ED，CD⊥AC，
所以四边形ACDE是直角梯形，
因为AE=2，∠ABC=45°，AE∥BC，
所以∠BAE=135°，因此∠CAE=45°，
故，
，
所以，
又PA⊥平面ABCDE，
所以。