Question

（2010•合肥模拟）已知离心率为

2

2

的椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，圆C₂：x²+y²=b²与直线l：y=

3

3

(x+4)相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果直线l绕着它与x轴的交点旋转，且与椭圆相交于P₁、P₂两点，设直线P₁F₁与P₂F₁的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析：（1）由圆心到直线的距离等于半径，知b=

4

1+3

=2．由 e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

，知a²=2b²=8，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线为y=k（x+4），它与椭圆相交于P₁、P₂两点，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F₁（-2，0），k1=

y1

x1+2

=

k(x1+4)

x1+2

，k2=

y2

x2+2

=

k(x2+4)

x2+2

，k₁+k₂=

2k

(x1+2)(x2+2)

[ ．联立

x2

8

+

y2

4

=1与y=k（x+4）得（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，由韦达定理能够证明k₁+k₂=0．

解答：解：（1）∵圆心到直线的距离等于半径，
∴b=

4

1+3

=2．
∵e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

，
∴

b2

a2

=

1

2

，a²=2b²=8，
所以椭圆方程为 

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）当直线l绕着它与x轴的交点旋转，可设直线为y=k（x+4），
它与椭圆相交于P₁、P₂两点，
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F₁（-2，0），
k1=

y1

x1+2

=

k(x1+4)

x1+2

，
k2=

y2

x2+2

=

k(x2+4)

x2+2

，
k₁+k₂=

k(x1+4)

x1+2

+

k(x2+4)

x2+2

=

k(x2+2)(x1+4)+k(x1+2)(x2+4)

(x1+2)(x2+2)

=

2k

(x1+2)(x2+2)

[ …（1）
联立

x2

8

+

y2

4

=1与y=k（x+4）得
（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，
x1+x2=-

16k2

2k2+1

，x1x2=

32k2-8

2k2+1

，
代入（1）式则有
k₁+k₂=

2k

(x1+2)(x2+2)

(

32k2-8

2k2+1

+3

-16k2

2k2+1

+8)=

2k[32k2-8+3(-16k2)+8(2k2+1)]

(x1+2)(x2+2)(2k2+1)

=0．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．